MOOC Cadrans solaires

Pour pouvoir aller d’un port A à un port B sans suivre la côte, il faut connaître au minimum la direction dans laquelle se trouve le port B et pouvoir, au cours de la navigation, déterminer au moins approximativement la direction que l’on suit afin de corriger la trajectoire du navire.
Une seconde information, non indispensable mais fort utile, est la distance qui sépare les deux ports ou la durée prévue pour le trajet.
La nuit, dans l’hémisphère nord, le navigateur peut, lorsque le ciel est dégagé, déterminer les directions grâce à l’étoile la plus proche de l’axe de rotation de la terre et le temps qui passe grâce à la rotation apparente des autres étoiles.
Le jour, le repère principal dont il dispose est le soleil et sa course dans le ciel. Il y a certes des repères secondaires comme le vent et la houle mais le soleil devrait pouvoir fournir une direction assez précise.
Avec un astrolabe dont l’araignée, gravée pour une latitude donnée, comporte des lignes d’azimut (qui semble-t-il sont un apport tardif des mathématiciens arabes) il est possible de déterminer l’heure solaire et de s’orienter de la manière suivante :
1 - sur le verso (face portant l’alidade) déterminer la correspondance entre la date du jour et la position du soleil sur l’écliptique - par exemple, avec un astrolabe en version antique, le 17 mai correspond au 27ème degré dans le Taureau,
2 - tenir l’astrolabe verticalement et mesurer la hauteur du soleil avec l’alidade,
3 - sur le recto (face portant l’araignée), faire correspondre la position du soleil sur l’écliptique avec la hauteur lue, soit dans la partie Est, soit dans la partie Ouest selon qu’on est le matin ou l’après-midi (le Sud est en haut),
4 - au même point, lire l’azimut sur les lignes d’azimut,
5 - lire l’heure solaire sur la couronne de la mère au moyen de la règle,
6 - retourner l’astrolabe sur le verso, le placer horizontalement et orienter l’alidade sur l’angle correspondant à l’azimut trouvé,
7 - tourner l’astrolabe sans déplacer l’alidade afin de faire pointer l’alidade en direction du soleil,
8 - l’astrolabe est maintenant orienté et on peut trouver le sud, le nord ou toute autre direction.
Avec le simulateur d’astrolabe en ligne http://www.astrolabeproject.com/sim/astrolabe/sim.html calculé pour la latitude 40°58 N et en fixant la hauteur du soleil à 30°, j’obtiens pour le 17 mai au matin l’heure solaire 7h33 et l’azimut 90° par rapport au nord.
Sous la réserve de disposer d’un instrument calculé pour la plage de latitude dans laquelle on évolue, il suffit donc de connaître la date, de mesurer la hauteur du soleil et de savoir si on est le matin ou l’après-midi pour s’orienter en pleine mer.
J’ai l’impression qu’on pourrait obtenir le même résultat avec un cadran de berger en lui ajoutant des lignes d’azimut :
1 - aligner le style avec la date du jour,
2 - orienter le cadran afin que l’ombre du style soit verticale,
3 - lire l’heure sur les lignes d’heure là où pointe le bout de l’ombre du style, et interpréter selon qu’on est le matin ou l’après-midi,
4 - lire l’azimut sur les lignes d’azimut là où pointe le bout de l’ombre du style, et interpréter selon qu’on est le matin ou l’après-midi,
5 - le cadran étant déjà orienté, visualiser mentalement l’angle d’azimut par rapport au sud et déterminer approximativement la direction du sud.
Je ne sais pas si mon raisonnement comporte des failles, mais je compte voir maintenant comment on pourrait déterminer ces lignes d’azimut en fonction de la hauteur et de la date.

Merci btrevisan de partager vos réflexions

Ma réponse sera brève car j'espère que d'autres membres du forum voudront apporter leurs commentaires ou leurs réponses.

Je suppose que vous avez lu les trois chapitres du MOOC pertinents sur ce sujet:
1 - http://www.cadrans-solaires.info/sequen ... zimut.html qui aborde les concepts de cadrans de hauteur et d'azimut
2 - http://www.cadrans-solaires.info/sequen ... laire.html sur la conception de boussoles et compas solaires
3 - http://www.cadrans-solaires.info/sequen ... -saga.html qui présente la saga du compas solaire des Vikings

On peut certes imaginer des compas solaires basés sur des concepts de cadrans solaires a priori quelconques ("un cadran solaire, s'il est orienté dans la direction nord-sud donne l'heure, et si l'on connaît l'heure, avec le même instrument, on peut en déduire donc la direction nord-sud")?

Cependant, le compas solaire inspiré du gnomon et utilisé dans l'armée pendant la seconde Guerre mondiale (voir 1 et 2) paraît le plus simple...

Je n'irai pas plus loin et attend vos commentaires ou ceux d'autres membres

Bien cordialement
Roger Torrenti

Je confirme avoir lu les chapitres du MOOC et je remercie l'auteur de ce cours en ligne de faire partager ainsi ses connaissances et sa passion.

Une précision sur ma réflexion sur le compas solaire : je cherche à me situer dans un passé lointain, à une époque où il n'y avait ni horlogerie, ni boussole. La question que je me pose est : pouvait-on en ce temps-là s'orienter en mer tout au long de la journée, uniquement avec le soleil.

C'est une très bonne question et "la saga du compas solaire viking", qui se situe en plein Moyen-Âge, pose précisément cette question...
Je suis personnellement peu convaincu de l'existence d'un compas solaire viking (pour les raisons développées dans l'article que j'ai écrit à ce sujet et qui est proposé en téléchargement dans le MOOC) mais la question posée reste ouverte...
Bien cordialement

J'ai lu la saga du compas solaire viking. J'y ai trouvé des choses très intéressantes mais, pour l'instant, j'ai envie de continuer dans mon idée de compas solaire à partir d'un cadran de berger. Cependant je bute sur la détermination de la hauteur à partir de l'azimut. J'ai pris l'option de passer par l'intermédiaire de l'angle horaire et j'ai beau tourner les formules de trigonométrie sphérique dans tous les sens, je n'y arrive pas pour l'instant.

Bonjour btrevisan,

Bravo pour persévérer, à la fois sur le concept que vous envisagez et sur la question de l'utilisation éventuelle, il y a plus de 1000 ans, d'instruments de navigation basés sur la mesure de la position des astres.

Sachant qu'une boussole ou un compas solaire sont par nature des cadrans d'azimut, vouloir utiliser un cadran de berger (intéressant car ne nécessitant pas de boussole) mais cadran de hauteur est a priori inattendu mais faisable.

Comme vous le suggérez, la solution est d'avoir avec soi un tableau de correspondance Hauteur - Azimut.
C'est assez facile en fait puisque l'on connaît les deux formules suivantes (voir : http://www.cadrans-solaires.info/sequen ... zimut.html)

HS = arcsin (sin DS sin LAT + cos DS cos LAT cos AH)
AS = arctan (sin AH / (sin LAT cos AH – cos LAT tan DS))

avec
HS : hauteur du Soleil
AS : azimut du Soleil
DS : déclinaison du Soleil (angle variant de -23° 26' au solstice d'hiver à +23° 26' au solstice d'été ; il est égal à 0° aux équinoxes)
LAT : latitude du lieu (angle variant de 0° à 90° dans l’hémisphère nord, de 0° à -90° dans l’hémisphère sud)
AH : angle horaire du Soleil (il est égal à - 15° à 11 h heure solaire, 0° à 12 h, +15 ° à 13 h, +30° à 14 h, etc.)

De la première formule on peut déduire AH = Arccos ((sin HS - sin DS sin LAT) / cos DS cos LAT) et si l'on porte AH dans la seconde formule, on peut alors construire le fameux tableau de correspondance en entrant la formule finale AH fonction de HS dans Excel ou équivalent.

Tout cela bien entendu (dont le tableau de correspondance) est valable pour un jour donné (valeur de DS) et si l'on navigue à latitude constante...
Et il faut avoir eu soin d'inscrire sur le cadran de berger non seulement les heures mais les hauteurs du Soleil, et garder à l'esprit qu'un cadran de berger n'est pas très précis autour de 12 h solaire) !

Allez jusqu'au bout, construisez, testez l'instrument en mer et partagez votre expérience sur ce forum !
Vous avez fait preuve de créativité, bravo!

Bonjour btrevisan,

Je ne sais pas si je répondrai entièrement à vos interrogations mais il est effectivement possible de relier directement la hauteur et l’azimut d’un astre. Le moyen le plus simple que je connaisse est de considérer le problème d’en haut, à l’extérieur de la voûte céleste. Par les 3 points caractéristiques qui sont le pôle nord P, le zénith Z et l’astre A on fait passer 3 grands cercles qui définissent un triangle sphérique dont on connaît tous les côtés :
PZ est le complément de la latitude : 90° - la
PA est le complément de la déclinaison de l’astre : 90° - d
ZA est le complément de la hauteur de l’astre : 90° - h
L’angle horaire est l’angle en P, l’azimut le supplément de l’angle en Z (180° - Z). Il « suffit » alors de résoudre le triangle et on voit d’emblée que la résolution de l’azimut est similaire à celle de l’angle horaire. Cette résolution fait partie de la trigonométrie sphérique et je vous renvoie à la page de Wikipédia où tous les cas de figure sont détaillés :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Résolutio ... n_triangle

Historiquement, je ne connais que Lambert qui ait proposé différents instruments pour mesurer l’azimut directement à partir de la hauteur. Il les a décrits dans le tome 2 de son ouvrage allemand Beyträge zum Gebrauche der Mathematik (Berlin 1770) dont Castillon a traduit certains passages dans les Suppléments de l’Encyclopédie Diderot. Celui qui concerne ces cadrans se trouve à l’entrée Azimut ici :
https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k50550x/f739
et la planche correspondante est ici :
https://artflsrv03.uchicago.edu/cgi-bin ... _45-5.jpeg

J’ai eu l’occasion de présenter les cadrans d’azimut de Lambert d’une autre manière dans un article qui se trouve ici :
http://cadrans-solaires.scg.ulaval.ca/v ... p19-26.pdf
et qui repose sur la procédure graphique que j’ai introduite ici au niveau de la figure 5 :
http://cadrans-solaires.scg.ulaval.ca/v ... -p10-4.pdf

À la fin de l’article je propose aussi une autre possibilité de cadran d’azimut universel. À ma connaissance ces cadrans n’ont jamais été construits et il est remarquable de constater que les seules réalisations effectives des cadrans d’azimut demandent la connaissance de l’angle horaire…

Tenez-nous au courant des solutions que vous envisagez de mettre en application et de vos réalisations – cordialement.

Merci beaucoup Yvon pour avoir partagé ces très intéressantes références et proposé une solution en passant par la trigonométrie sphérique (que je n'aborde pas dans le MOOC, me bornant à la géométrie euclidienne afin de rester le plus possible "à la portée de tous")

Ceci étant, la solution proposée n'est-elle pas équivalente à celle que je proposais avec les 2 formules (certes un peu magiques et que l'on peut déduire de la trigonométrie sphérique) mais qui ont le mérite de proposer des formules "à connaître" puisqu'elles concernent les 2 angles clés d'un gnomoniste (même amateur) : hauteur et azimut

Encore merci pour cette contribution
Bien amicalement
Roger

PS: un message à tous les membres du MOOC: Yvon est l'auteur du logiciel gratuit (et multi-plateformes) Calcad (voir la séquence 5 du MOOC http://www.cadrans-solaires.info/sequen ... ciels.html) et met à la disposition de tous un très intéressant site (voir également la séquence 5 du MOOC http://www.cadrans-solaires.info/sequen ... s-web.html)

Merci Roger pour m’avoir présenté. C’est ce que j’aurais dû faire en arrivant sur votre forum car je ne suis pas vraiment un apprenant. J’ai toutefois encore beaucoup de chose à découvrir : même si je ne m’intéresse qu’à la partie théorique de la gnomonique, nos prédécesseurs nous ont laissé un terrain immense à explorer.

Vos formules sont bien sûr équivalentes à celle que je proposais à btrevisan de retrouver. En termes mathématiques, on peut dire que vos relations sont paramétriques, avec pour paramètre l’angle horaire, tandis qu’il y a une relation directe entre la hauteur et l’azimut. Il me semblait que c’était ce que btrevisan cherchait à établir.

En tout cas, je suis curieux de voir ce que btrevisan nous proposera.

Bien cordialement

Bonjour,
Je souhaitais répondre à Yvon mais je ne trouve plus son message dans le fil de discussion